天宫院到北京首都机场乘坐地铁，需要先乘坐地铁10号线，从天宫院站上车，在北京黑庄户站下车，换乘机场线，最终到达北京首都机场。具体步骤如下：

1. 从天宫院站乘坐地铁10号线，方向为宋家庄或巴沟方向。

2. 在北京黑庄户站下车，无需换乘即可直接进入机场线。

3. 乘坐机场线前往北京首都机场。

需要注意的是，机场线在工作日高峰时段和节假日可能会有较大的******，建议提前规划行程并留出足够的时间以应对可能的延误。