一次函数相似综合压轴题是数学******中常见的难题类型，这类题目往往结合了一次函数的性质、相似三角形的判定与性质，以及代数与几何的巧妙结合，对******综合运用知识的能力提出了较高的要求。******通过一道典型的例题来解析这类问题的解题思路和技巧。

### 例题

在平面直角坐标系中，直线\(l_1\)的方程为\(y = 2x + 3\)，直线\(l_2\)的方程为\(y = -\frac{1}{2}x + 5\)。点\(A(1, 5)\)和点\(B(3, 9)\)分别位于直线\(l_1\)和\(l_2\)上。过点\(A\)作一条直线\(l_3\)与直线\(l_2\)相交于点\(C\)，且\(\triangle ABC\)相似于\(\triangle AOB\)（其中O是坐标原点），求直线\(l_3\)的方程。

### 解析

#### 第一步：确定已知条件

- 直线\(l_1: y = 2x + 3\)

- 直线\(l_2: y = -\frac{1}{2}x + 5\)

- 点\(A(1, 5)\)在直线\(l_1\)上

- 点\(B(3, 9)\)在直线\(l_2\)上

- \(\triangle ABC \sim \triangle AOB\)

#### 第二步：利用相似三角形的性质

由于\(\triangle ABC \sim \triangle AOB\)，可以得到对应边的比例关系。设点C的坐标为\((x_C, y_C)\)，则有：

\[ \frac{AC}{AO} = \frac{BC}{BO} = k \]

其中，k是相似比。因为A、B两点分别在两直线上，可以计算出OA和OB的长度：

\[ OA = \sqrt{(1-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{26} \]

\[ OB = \sqrt{(3-0)^2 + (9-0)^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \]

#### 第三步：求解相似比k